EQUAZIONE DI UN’ONDA STAZIONARIA
Quando pizzichiamo una corda di una chitarra provochiamo un’onda, la cui equazione è (trascurando l’effetto dell’attrito e supponendo che sia progressiva):
y1=Asen[2π(t/T-x/λ)+α1]
Questa prima onda si propaga lungo tutta la corda fino ad uno dei due estremi fissi, dove si riflette generandone una seconda che si propaga in verso opposto mantenendo inalterati periodo, ampiezza, e lunghezza d’onda. Trattandosi di un’onda regressiva, la sua equazione sarà:
y2=Asen[2π(t/T+x/λ)+α2].
Il moto di un punto della corda è quindi il risultato della sovrapposizione di due onde: una progressiva ed una regressiva, per cui la sua “vera” distanza dalla posizione di equilibrio non è né y1 né y2, ma
y=y1+y2=Asen[2π(t/T-x/λ)+α1]+Asen[2π(t/T+x/λ)+α2]
(gli effetti delle due onde si sommano algebricamente).
In altre parole,
y=f(x,t)=A{sen[2π(t/T-x/λ)+α1]+sen[2π(t/T+x/λ)+α2]} (1),
dove la scrittura y=f(x,t) significa che il valore che assume y dipende da x e dal tempo.
Poiché la corda è fissata agli estremi, questi non possono vibrare: quindi almeno per x=0 deve essere y=0. E non solo in qualche istante particolare (questo accade in tutti i punti della corda), ma sempre. Cioè deve essere, per qualunque valore di t (indicando con f(0,t) il valore che y assume nell’estremo dove x=0, espresso in funzione del tempo t):
f(0,t)=A{sen[2πt/T+α1]+sen[2πt/T+α2]}.
Ma questo richiede che i seni degli angoli 2πt/T+α1 e 2πt/T+α2 siano opposti, ovviamente per ogni valore di t. Ed è esattamente ciò che accade a due angoli che differiscono di un angolo piatto (180°; in radianti π). Scegliendo α1=0 per semplicità, dovrà essere quindi α2=π.
La (1) diventa quindi
y=f(x,t)=A{sen[2π(t/T-x/λ)]+sen[2π(t/T+x/λ)+π]},
e, ponendo
p=2π(t/T+x/λ)+π=2πt/T+2πx/λ+π e
q=2π(t/T-x/λ)=2πt/T-2πx/λ,
f(x,t)=A{senp+senq}.
Ricordando la prima formula di prostaferesi otteniamo
f(x,t)=A{2sen[(p+q)/2]cos[(p-q)/2]}=2Asen[(p+q)/2]cos[(p-q)/2]. (2)
Calcoliamo ora gli argomenti del seno e del coseno:
p+q=2πt/T+2πx/λ+2πt/T-2πx/λ=4πt/T+π;
(p+q)/2=2πt/T+π/2=(2π/T)·t+π/2.
p-q=2πt/T+2πx/λ-2πt/T+2πx/λ=4πx/λ+π;
(p-q)/2=2πx/λ+π/2.
Sostituendo questi valori in (2), e ricordando la formula ω=2π/T:
f(x,t)=2Asen[(2π/T)·t+π/2]cos[2πx/λ+π/2]=2Acos[2πx/λ+π/2]sen[ωt+π/2]. (3)
La cosa interessante è che l’argomento del seno dipende dal tempo, ma non dalla posizione; viceversa quello del coseno da x, ma non da t. In ogni caso il fattore 2Acos[2πx/λ+π/2] dipende solo da x. Se questa quantità è positiva, possiamo porre
R=2Acos[2πx/λ+π/2],
e la (3) diventa
f(x,t)=Rsen[ωt+π/2].
Ma questa è l’equazione di un moto armonico: poiché R dipende da x, mentre α0 vale π/2 indipendentemente dalla posizione, tutti i punti per cui cos[2πx/λ+π/2]>0 vibrano di moto armonico, tutti in fase tra loro e con ampiezza variabile a seconda della posizione.
Se invece cos[2πx/λ+π/2]<0, poiché tanto A (ampiezza A dell’onda), quanto R (ampiezza del moto armonico) non possono essere negative, poniamo R=-2Acos[2πx/λ+π/2] (l’opposto di un numero negativo è positivo).
Sfruttiamo la possibilità di cambiare due volte segno senza modificare il risultato:
f(x,t)=-2Acos[2πx/λ+π/2]{-sen[ωt+π/2]}=R{-sen[ωt+π/2]}.
Come abbiamo già visto, sono opposti i seni degli angoli che differiscono di un angolo piatto: possiamo quindi togliere il segno meno davanti al seno, a patto di sottrarre (o sommare, sarebbe lo stesso!) π all’argomento. Quindi
f(x,t)=Rsen[ωt+π/2-π]=Rsen[ωt-π/2].
Anche in questo caso
tutti i punti vibrano di moto armonico, in fase tra loro e con ampiezza variabile a seconda della posizione; tuttavia saranno sfasati di un angolo piatto (si dice che sono in opposizione di fase)
rispetto ai precedenti.
In definitiva
tutti i punti vibrano in fase o in opposizione di fase tra loro: non c’è più uno sfasamento che varia gradualmente all’aumentare della posizione. L’onda si dice stazionaria proprio in quanto non si propaga più.
Per finire esaminiamo alcuni casi particolari, riferendoci per semplicità all’equazione (3). L’ampiezza del moto armonico, essendo A indipendente da x, dipende solo dal valore del coseno. Poiché questo varia tra -1 e 1, l’ampiezza minima è 0, e si ottiene quando cos[2πx/λ+π/2]=0. In questo caso deve essere 2πx/λ+π/2=π/2+kπ, essendo k un arbitrario numero intero (0, +1, -1, +2, -2, ...); quindi 2πx/λ=kπ, 2x=kλ e
x=k·(λ/2).
Abbiamo un nodo (un punto che non vibra) se la sua distanza dall’origine della corda è un multiplo di mezza lunghezza d’onda.
L’ampiezza del moto armonico è invece massima quando il coseno assume in modulo il valore massimo, cioè quando cos[2πx/λ+π/2]=±1.
In questo caso deve essere 2πx/λ+π/2=kπ, da cui 2x/λ+1/2=k, 2x+λ/2=kλ, 2x=kλ-λ/2, x=k·(λ/2)-λ/4 e x=(2k-1)·(λ/4).
Abbiamo un ventre (punto che vibra con ampiezza massima) quando la sua distanza dall’origine della corda è un multiplo dispari di un quarto di lunghezza d’onda.